Planeación agregada mediante programación lineal



Recordemos que la planeación agregada es un proceso para determinar una estrategia de forma anticipada que permita satisfacer los requerimientos (demanda) del sistema, al mismo tiempo que optimiza los recursos del mismo; cuyo desarrollo se lleva a cabo en el corto y mediano plazo.

Variables y consideraciones


A la hora de elaborar un plan agregado se debe tener en cuenta que existen una serie de consideraciones que rigen la estrategia, ya sea por el horizonte de tiempo, por el criterio de las decisiones o por las restricciones que delimitan el sistema.

 

A continuación detallaremos estas consideraciones.


Horizonte de tiempo

Básicamente, la planeación agregada considera un horizonte de tiempo de corto y medio plazo, es decir que debe manejar un periodo entre 6 y 18 meses de planificación.

Criterios de decisión

El principal objetivo de la planeación agregada es aumentar la productividad, de manera que debe acercar a la organización a su meta económica. En este orden de ideas, la búsqueda de la maximización del beneficio se alinea con los objetivos del plan agregado, entendiéndose como la diferencia entre los ingresos y los costos totales, por ende es absolutamente válido considerar la minimización de los costos totales (mientras no se afecten los ingresos) como criterio de decisión de la planeación agregada.

 

Teniendo en cuenta lo anterior, es necesario evaluar con espíritu crítico y perspectiva sistémica, todas las relaciones entre los recursos disponibles para llevar a cabo el plan y sus implicaciones en los costos totales. De manera que pueden identificarse los costos asociados a los siguientes factores:

  • Mano de obra: Costo de tiempo normal.
  • Contratación: Costos asociados a la búsqueda de mano de obra, a la contratación misma y a las actividades de inducción.
  • Despidos: Costos legales (compensaciones e indemnizaciones) de despedir empleados.
  • Horas extras.
  • Subcontratación (Outsourcing).
  • Inventario: Costos de mantenimiento de inventario, incluso costos de oportunidad por lucro cesante.
  • Ruptura de inventario (faltantes).
  • Costos de financiación del plan.

Restricciones

Todos los sistemas objetos de planeación agregada se encuentran sujetos a restricciones y de diversos tipos, tales como:

  • Restricciones de demanda: P.ej: Requerimientos por periodo.
  • Restricciones laborales: P.ej: Máximo número de horas extras posibles.
  • Restricciones de espacio: P.ej: Máxima capacidad de almacenamiento.
  • Restricciones de la cadena de valor: P.ej: Capacidad máxima del proveedor.
  • Restricciones de eficiencia: P.ej: Curva de aprendiza en empleados nuevos.

Modelos de programación lineal en planeación agregada


Existen diversos métodos empleados en la creación de un plan agregado, entre los que se destacan la programación lineal, reglas de decisión por búsqueda, programación por objetivos, programación dinámica, o métodos heurísticos (ensayo y error).

 

La programación lineal por sus características innatas de modelación libre, se constituye como una herramienta poderosa de resolución de planes agregados, de manera que puede considerar tantas restricciones como la realidad del sistema lo presenten, al mismo tiempo que se enfoca en soluciones óptimas, a diferencia de los métodos heurísticos de comparación de alternativas.

A lo largo del tiempo se han desarrollado modelos de programación lineal aplicados a la planeación agregada, tales como el método de transporte de Bowman, el método de Hanssman-Hess, que permite concluir que pueden desarrollarse tantos modelos como existan casos de estudio, y variarán de acuerdo a las restricciones que consideren, haciendo modelos más o menos robustos.

A continuación, se detallará un modelo de programación lineal mixta propuesto por el Ingeniero Bryan Salazar López (2017), que considerará la mayor parte de los criterios de decisión contemplados en los métodos heurísticos de comparación de alternativas, en búsqueda de una solución óptima.



Modelo de programación lineal mixta aplicado a Planeación Agregada (Salazar, 2017)

En el modelo propuesto las decisiones se toman de acuerdo con una fuerza de trabajo flexible considerando tiempo extraordinario de trabajo y una tasa de producción que contempla un factor de eficiencia reducida para operarios nuevos en el periodo de contratación, simulando el impacto de la curva de aprendizaje.

 

Los costos que afectan la función objetivo se expresan en "costos por unidades agregadas" y "costos por operario", e incluye los componentes de:

  • Costos de nómina normal.
  • Costos de nómina en tiempo extraordinario.
  • Costos de contratación de personal.
  • Costos de despido de personal.
  • Costos de subcontratación y maquila.
  • Costos totales de inventario.

Además, los costos asociados al tiempo normal y extraordinario relacionados con los operarios nuevos también contemplan el factor de eficiencia reducida por periodo.

VARIABLES DE DECISIÓN

VARIABLES DE CÁLCULOS INTERMEDIOS (Inputs)

FORMULACIÓN DE CÁLCULOS INTERMEDIOS

VARIABLES Y ENTRADAS FINANCIERAS



FORMULACIÓN DE VARIABLES FINANCIERAS

RESTRICCIONES DE TIEMPO NORMAL

RESTRICCIONES DE TIEMPO NORMAL (OPERARIOS NUEVOS)

RESTRICCIONES DE BALANCE Y DEFINICIÓN DE OPERARIOS ANTIGUOS

RESTRICCIONES DE BALANCE DE OPERARIOS

RESTRICCIONES DE POLÍTICAS DE HORAS EXTRAS

RESTRICCIONES DE POLÍTICAS DE HORAS EXTRAS (OPERARIOS NUEVOS)

RESTRICCIONES DE CAPACIDAD DE SUBCONTRATACIÓN

RESTRICCIONES DE BALANCE DE INVENTARIOS

RESTRICCIONES DE DEMANDA

RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD

Todas las variables pertenecen a los números reales y sus valores deberán ser mayores o iguales a cero.

 

Las variables relacionadas con "Cantidad de operarios" deberán ser variables "Enteras".

FUNCIÓN OBJETIVO


La aplicación del anterior modelo arrojará la solución óptima por medio del algoritmo "branch and bound".


CASO DE ESTUDIO: Aplicación de programación lineal en Planeación Agregada


Una compañía desea determinar su plan agregado de producción para los próximos 6 meses. Una vez utilizado el modelo de pronóstico más adecuado se establece el siguiente tabulado de requerimientos (no se cuenta con inventario inicial, y no se requiere de inventarios de seguridad).


Información relacionada con el negocio

 

Costo de contratar: $ 350 / trabajador

Costo de despedir: $ 420 / trabajador

Costo de tiempo normal (mano de obra): $ 6 / hora

Costo de tiempo extra (mano de obra): $8 / hora

Costo de mantenimiento de inventarios: $ 3 /unidad/ mes

Costo de subcontratar: $ 50 / unidad

Tiempo de procesamiento: 5 horas / trabajador / unidad

Jornada laboral: 8 horas / día

Número inicial de trabajadores: 20

Eficiencia de un trabajador nuevo el primer periodo: 90%

Cantidad máxima de horas extras por operario por mes: 8 horas/trabajador/mes

Capacidad máxima de suministro de unidades de subcontratación: 200 unidades/mes

Unidades: Toneladas.

CÁLCULOS INTERMEDIOS

Restricciones de tiempo normal

Ni = Pi(Ai)

N1 = 35,2(A1)

N2 = 30,4(A2)

N3 = 33,6(A3)

N4 = 33,6(A4)

N5 = 35,2(A5)

N6 = 32,0(A6)

Restricciones de tiempo normal (Operarios nuevos)

NCi = PCi(Ci)

NC1 = 31,68(C1)

NC2 = 27,36(C2)

NC3 = 30,24(C3)

NC4 = 30,24(C4)

NC5 = 31,68(C5)

NC6 = 28,80(C6)

Restricciones de balance de operarios antiguos

Ai = Oi - Ci

A1 = O1 - C1

A2 = O2 - C2

A3 = O3 - C3

A4 = O4 - C4

A5 = O5 - C5

A6 = O6 - C6

Restricciones de balance de operarios

Oi = Oi-1 + Ci - Di

O1 = 20 + C1 - D1

O2 = O1 + C2 - D2

O3 = O2 + C3 - D3

O4 = O3 + C4 - D4

O5 = O4 + C5 - D5

O6 = O5 + C6 - D6

Restricciones de límite de horas extras (operarios antiguos)

Zi <= Hi(A1)

Z1 <= 1,6(A1)

Z2 <= 1,6(A2)

Z3 <= 1,6(A3)

Z4 <= 1,6(A4)

Z5 <= 1,6(A5)

Z6 <= 1,6(A6)

Restricciones de límite de horas extras (operarios nuevos)

ZCi  <= HCi(Ci)

ZC1 <= 1,44(C1)

ZC2 <= 1,44(C2)

ZC3 <= 1,44(C3)

ZC4 <= 1,44(C4)

ZC5 <= 1,44(C5)

ZC6 <= 1,44(C6)

Restricciones de capacidad de subcontratación

Yi <= Li

Y1 <= 200

Y2 <= 200

Y3 <= 200

Y4 <= 200

Y5 <= 200

Y6 <= 200

Restricciones de balance de inventarios

Ii = Ii-1 + Ni + NCi + Zi + + ZCi + Yi - Ri

I1 = N1 + NC1 + Z1 + ZC1 + Y1 - 2500

I2 = I1 + N2 + NC2 + Z2 + ZC2 + Y2 - 1500

I3 = I2 + N3 + NC3 + Z3 + ZC3 + Y3 - 3000

I4 = I3 + N4 + NC4 + Z4 + ZC4 + Y4 - 1000

I5 = I4 + N5 + NC5 + Z5 + ZC5 + Y5 - 2500

I6 = I5 + N6 + NC6 + Z6 + ZC6 + Y6 - 2200

Restricciones de demanda

Ni + NCi + Zi + ZCi + Yi + Ii-1 >= Ri

N1 + NC1 + Z1 + ZC1 + Y1 >= 2500

N2 + NC2 + Z2 + ZC2 + Y2 + I1 >= 1500

N3 + NC3 + Z3 + ZC3 + Y3 + I2 >= 3000

N4 + NC4 + Z4 + ZC4 + Y4 + I3 >= 1000

N5 + NC5 + Z5 + ZC5 + Y5 + I4 >= 2500

N6 + NC6 + Z6 + ZC6 + Y6 + I5 >= 2200

CÁLCULOS FINANCIEROS INTERMEDIOS

Función objetivo

Una vez finalizada la etapa de modelamiento, se procede a ingresar los datos en un Software de resolución de ecuaciones, como WinQSB. Tenga en cuenta que este es un modelo a gran escala, razón por la cual, y dependiendo del equipo de cómputo, el Software puede pasar algunos minutos, incluso horas en resolverlo.

 

Una forma efectiva de reducir el tiempo de resolución es creando una restricción idéntica a la función objetivo y asignándole un valor tentativo al costo total, como por ejemplo 1M, de esta forma se estará acotando más el modelo. 

 

El anterior ejemplo es un modelo de 60 variables y 54 restricciones, tenga en cuenta estos datos para parametrizar el software de resolución.

La solución de este modelo es la siguiente:

El modelo y la solución del mismo pueden descargarse:

Descarga
Modelo - Archivo WinQSB
PA3.LPP
Documento de texto 5.5 KB
Descarga
Solución del modelo
PA3.TXT
Documento de texto 4.2 KB

A partir de esta información se recomiendo construir un tabulado en el que se detalle de forma precisa cómo se deberá ejecutar el plan agregado, así por ejemplo:

Puede comprobar por su cuenta como los resultados obtenidos por medio de programación lineal mixta son mucho mejores que todos los métodos heurísticos de planeación agregada. Del mismo modo, puede concluir que el modelamiento tiene un mayor grado de complejidad que la evaluación de alternativas; sin embargo, dependiendo de las unidades y la proporción de los costos, es importante buscar una solución óptima que represente ahorros significativos.