Investigación de operaciones

Ejercicios de programación lineal (cuarta parte)

Cuarta parte

A continuación, presentamos la solución a una serie de ejercicios de programación lineal. Encontrarán diversas variaciones del problema básico, aplicadas en diversos contextos. Los invitamos también a repasar los conceptos relacionados con:

Problema No. 16

Una empresa elabora 2 productos A y B, que proporcionan $800 y $1100. Los dos deben pasar por 3 procesos. El articulo A tarda 10 min en proceso de corte, 15 min en costura y 12 min en detallado. El B tarda 12 min, 18 min y 10 min respectivamente. Se dispone de tiempo de corte al día de 59 h, 70 h de costura y 65 h de detallado. Se debe cumplir también una orden especial de un cliente de 30 y 35 unidades diarias, respectivamente. ¿Cuántos productos de cada tipo debe producir al día?

Problema 16 Programación lineal

Como Asistente del Departamento de Producción, usted necesita determinar un plan de producción diario óptimo.

Definición de variables

A = Cantidad de unidades de producto «A» a fabricar diariamente

B = Cantidad de unidades de producto «B» a fabricar diariamente

Restricciones

10A + 12B <=3540 (Disponibilidad de minutos de Corte)

15A + 18B <= 4200 (Disponibilidad de minutos de Costura)

12A + 10B <= 3900 (Disponibilidad de minutos de Detallado)

A >= 30 (Demanda mínima «Orden especial»)

B >= 35 (Demanda mínima «Orden especial»)

A; B = Enteros

Función objetivo

Zmax = 800A + 1100B

Solución del modelo mediante SOLVER

Solución problema 16


Problema No. 17 (Valor de)

Un laboratorio de productos veterinarios distribuye un producto en tres formas de cajas distintas A, B y C. Las cajas del tipo A tienen un peso de 250 gramos y un precio de 600 pesos, las de tipo B pesan 500 gramos y su precio es 1080 pesos mientras que las C pesan 1 kilo y cuestan 1980 pesos. A una veterinaria le suministran un lote de 5 cajas con un peso de 2,5 kilos por un importe de 5.340 pesos.

Problema 17 Programación lineal

¿Cuántas cajas de cada tipo se enviaron a la veterinaria?

Definición de variables

A = Cantidad de cajas tipo A que se enviaron a la veterinaria en el lote

B = Cantidad de cajas tipo B que se enviaron a la veterinaria en el lote

B = Cantidad de cajas tipo C que se enviaron a la veterinaria en el lote

Restricciones

A + B + C = 5

250A + 500B + 1000C = 2500

600A + 1080B + 1980C = 5340

A;B;C = Enteros

Función objetivo (Valor de)

La función objetivo de este problema no consiste en minimizar ni maximizar una ecuación, sino establecer una igualdad, ya sea en función de la restricción de peso o importe.

5340 = 600A + 1080B + 1980C

Solución mediante SOLVER

Solución problema 17


Problema No. 18 (Inventarios)

Una librería requiere establecer la demanda de una novela para los próximos 4 meses. Actualmente, dispone de 110 unidades en inventario. La proyección de la demanda es la siguiente:

Problema 18 Programación lineal

La librería tiene la capacidad de adquirir hasta 300 libros cada mes, a un costo de $4.000 por libro.

Los libros producidos adquiridos en un mes pueden ser vendidos en ese período o quedar almacenados para otro mes. Cada unidad almacenada tiene un costo adicional de $ 300 por mes.

Se debe determinar el modelo final que permita satisfacer la demanda y a un costo mínimo.

 

Definición de las variables

X1 = Cantidad de libros a comprar en el mes 1.

X2 = Cantidad de libros a comprar en el mes 2.

X3 = Cantidad de libros a comprar en el mes 3.

X4 = Cantidad de libros a comprar en el mes 4.

Ii = Inventario inicial.

I1 = Inventario al final del mes 1.

I2 = Inventario al final del mes 2.

I3 = Inventario al final del mes 3.

 

Restricciones

Ii = 110 (Inventario inicial)

Restricciones para satisfacer la demanda proyectada

X1 + Ii >= 130 (Compras mes 1 + Inventario inicial >= demanda mes 1)

X2 + I1 >= 290 (Compras mes 2 + Inventario final mes 1 >= demanda mes 2)

X3 + I2 >= 190 (Compras mes 3 + Inventario final mes 2 >= demanda mes 3)

X4 + I3 = 150 (Compras mes 4 + Inventario final mes 3 = demanda mes 4)

Todas las variables = Enteros

 

Restricciones de balance (Definición de variables de inventarios)

I1 = Ii + X1 – 130 (Inventario final del mes 1 = Inventario inicial + Compras mes 1 – Demanda mes 1)

I2 = I1 + X2 – 290 (Inventario final del mes 2 = Inventario final 1 + Compras mes 2 – Demanda mes 2)

I3 = I2 + X3 – 190 (Inventario final del mes 3 = Inventario final 2 + Compras mes 3 – Demanda mes 3)

 

Restricciones de capacidad de compra

X1 <= 300

X2 <= 300

X3 <= 300

X4 <= 300

 

Enteros

X1;X2;X3;X4 = Enteros

 

Función Objetivo

Zmin = 4000(X1 + X2 + X3 + X4) + 300(I1 + I2 + I3)

Solución obtenida mediante SOLVER

Solución problema 18

*La respuesta de este ejercicio parece evidente, la formulación tomaría relevancia en la medida en que varíen los precios de adquisición de libros de un mes a otro.


Problema No. 19

Una empresa posee 3 fábricas instaladas a la orilla de un río; cada una de las fábricas arroja 2 tipos de contaminante al río. Si la basura es procesada en cada fábrica, es posible reducir el contaminante vertido al río. Cuesta 20 dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica 1, reduciendo en 0,35 toneladas el contaminante 1 y en 0,25 toneladas el contaminante 2. Cuesta 12 dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica 2, reduciendo en 0,2 toneladas el contaminante 1 y en 0,25 toneladas el contaminante 2. Cuesta 10 dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica 3, reduciendo en 0,1 toneladas el contaminante 1 y en 0,45 toneladas el contaminante 2.

Por otro lado, la ley obliga a la empresa a reducir la contaminación total vertida al río en al menos 35 toneladas del contaminante 1 y en al menos 40 toneladas del contaminante 2. Cada fábrica tiene la posibilidad de procesar a lo más 70 toneladas de basura.

Problema 19 Programación lineal

Formule y resuelva un modelo de programación Lineal para ayudar a la empresa a minimizar el costo de
reducir la contaminación. Defina sus variables de decisión, explique todas las restricciones y supuestos del
modelo.

Definición de variables

A = Cantidad de toneladas procesadas en la fábrica 1

B = Cantidad de toneladas procesadas en la fábrica 2

C = Cantidad de toneladas procesadas en la fábrica 3

Restricciones

0.35A + 0.20B + 0.10C >= 35 (Reducción mínima contaminante 1)

0.25A + 0.25B + 0.45C >= 40 (Reducción mínima contaminante 2)

12A + 10B <= 3900 (Disponibilidad de minutos de Detallado)

A <= 70 (Capacidad de procesamiento de la fábrica 1)

B <= 70 (Capacidad de procesamiento de la fábrica 2)

C <= 70 (Capacidad de procesamiento de la fábrica 3)

Función objetivo

Zmix = 20A + 12B + 10C

Solución del modelo mediante SOLVER

Solución problema 19

Repasa los conceptos de este tema en: Programación lineal

Bryan Salazar López

Ingeniero Industrial, Magíster en Logística Integral, especializado en productividad, con interés y experiencia en el modelamiento de procesos bajo dimensiones de sostenibilidad, industria 4.0, transformación digital y modelos de optimización. Fundador de Ingenieriaindustrialonline.com, sitio donde se recogen las aportaciones de investigaciones, artículos y referencias.

2 comentarios

  1. hola! me podrias ayudar:

    Una empresa posee 3 fábricas instaladas a la orilla de un río; cada una de las fábricas arroja 2 tipos de
    contaminante al río. Si la basura es procesada en cada fábrica, es posible reducir el contaminante vertido al río.
    Cuesta 20 dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica 1, reduciendo en 0,35 toneladas el contaminante
    1 y en 0,25 toneladas el contaminante 2. Cuesta 12 dólares procesar una tonelada de basura de la fábrica 2,
    reduciendo en 0,2 toneladas el contaminante 1 y en 0,25 toneladas el contaminante 2. Cuesta 10 dólares
    procesar una tonelada de basura de la fábrica 3, reduciendo en 0,1 toneladas el contaminante 1 y en 0,45
    toneladas el contaminante 2. Por otro lado, la ley obliga a la empresa a reducir la contaminación total vertida al
    río en al menos 35 toneladas del contaminante 1 y en al menos 40 toneladas del contaminante 2. Cada fábrica
    tiene la posibilidad de procesar a lo más 70 toneladas de basura.
    a) Formule y resuelva un modelo de programación Lineal para ayudar a la empresa a minimizar el costo de
    reducir la contaminación. Defina sus variables de decisión, explique todas las restricciones y supuestos del
    modelo.
    b) Analice y discuta sus resultados.
    c) Comente sobre posibles extensiones para este problema.

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