Las ventas anuales de aluminio terminado son de 1000 toneladas (ton) en la planta D y 1200 ton en la planta E.

Costos de transporte en $/ton de Bauxita

Los números que aparecen ordinalmente enseguida de cada fuente y destino serán utilizados para definir las variables.

Costos de transporte de alúmina, en $/ton de alúmina

Los lingotes de producto terminado no se transportan entre D y E y viceversa. Formule y resuelva un modelo de optimización para determinar la mejor red – configuración y diseño de la cadena de abastecimiento presentada.

Note que existe un problema de determinar cuáles plantas de alúmina deben ser abiertas.

Las variables de decisión se plantearán mayoritariamente en relación a las unidades a transportar desde un nodo hacia el otro.

Una muy buena manera de llamar a las variables es sugerido en la anterior gráfica (X(ij) – Y(jk) – W(j)). Por ende las variables de decisión serán:

X_ij = Cantidad de toneladas de bauxita a transportar desde la mina i hacia la planta de alúmina j por año; donde i {A,B,C} y j {B,C,D,E}.

Y_jk  = Cantidad de toneladas de alúmina a transportar desde la planta de alúmina j hacia la planta de esmaltado k por año; donde j {B,C,D,E} y k {D,E}.

Hasta este punto todo es normal, sin embargo es necesario determinar una serie de variables binarias que indicarán que plantas de alúmina se abrirán o no, además estas estarán asociadas a los costos fijos generados por la apertura de cada planta en la función objetivo.

W_j  = 1, si la planta j se abre, de lo contrario 0; donde j {B,C,D,E}. (Variable Binaria).

Restricciones por capacidad anual de cada mina de Bauxita

Mina A: X_AB + X_AC + X_AD + X_AE ≤ 36000

Mina B: X_BB + X_BC + X_BD + X_BE ≤ 52000

Mina C: X_CB + X_CC + X_CD + X_CE ≤ 28000

Es decir que todos los envíos efectuados desde cada mina hacia cualquiera de los cuatro destinos no puede exceder la capacidad de cada mina.

Restricciones por capacidad anual de procesamiento de Bauxita en cada planta de alúmina

Planta B: X_AB + X_BB + X_CB ≤  40000W_B

Planta C: X_AC + X_BC + X_CC ≤  20000W_C

Planta D: X_AD + X_BD + X_CD ≤  30000W_D

Planta E: X_AE + X_BE + X_CE ≤  80000W_E

 Estas restricciones aseguran que los enviados realizados desde cualquiera de las minas hacia cada planta específica sean menores o iguales a los que cada planta pueda procesar, además la capacidad de cada planta va acompañada de la variable binaria que le corresponde, es decir que como el valor que puede adquirir cada variable binaria es 1 o 0, cuando esta sea 1 (la planta se abre) la capacidad se multiplicará por uno (1) es decir que no se altera, pero cuando esta variable adquiera el valor de 0 (la planta no se abre) la capacidad se multiplicará por cero (0) es decir que la capacidad quedará reducida a 0 por ende no se podrán enviar unidades a esa planta.

Restricciones por capacidad anual de procesamiento de alúmina en cada planta de esmaltado

En este conjunto de restricciones no se utilizarán las variables correspondientes a las de envío de Bauxita (X) sino las correspondientes al envío de Alúmina (Y), en las restricciones de balanceo representaremos la equivalencia dado el rendimiento que tiene la Bauxita de cada mina para convertirse en alúmina.

Planta D: Y_BD + Y_CD + Y_DD + Y_ED ≤  4000

Planta E: Y_BE + Y_CE + Y_DE + Y_EE ≤  7000

Es decir que todos los envíos de alúmina hacia las plantas de esmaltado no superen cada una de las capacidades de procesamiento de las mismas.

Restricciones por las ventas anuales de aluminio terminado en cada planta de esmaltado

En este caso se debe recordar que existe una equivalencia entre la alúmina y el aluminio terminado (equivalencia determinada por el rendimiento de la alúmina para fabricar aluminio que es del 40%, «una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado»). Entonces podemos usar las variables de toneladas de alúmina con su debida equivalencia para elaborar las restricciones de demanda.

Planta D: 0,4(Y_BD + Y_CD + Y_DD + Y_ED) =  1000

Planta E: 0,4(Y_BE + Y_CE + Y_DE + Y_EE) =  1200

Restricciones de balance

Como lo mencionamos en módulos anteriores las restricciones de balance tienen lugar en los nodos de transbordo, es decir, en los nodos que no son de oferta o demanda pura. Como en este nodo entran variables que representan toneladas de Bauxita y salen variables que representan alúmina se debe de aplicar el rendimiento correspondiente para realizar la conversión.

0.060X_AB + 0.080X_BB + 0.062X_CB = Y_BD + Y_BE 

0.060X_AC + 0.080X_BC + 0.062X_CC = Y_CD + Y_CE 

0.060X_AD + 0.080X_BD + 0.062X_CD = Y_DD + Y_DE

0.060X_AE + 0.080X_BE + 0.062X_CE = Y_ED + Y_EE

Al introducir estos datos en software como WinQSB debemos saber que al lado derecho del signo igual o el signo de la inecuación no deben ir variables, por ende estas pasan a restar al lado izquierdo, igualando la ecuación a cero (0).

Restricciones obvias

Las cuales determinan la naturaleza de las variables

X_ij ≥ 0 ∀ i,j

X_jk ≥ 0 ∀ j,k

W_j ∈ {1,0} ∀ j

Ingresando los datos a WinQSB

Resultados obtenidos mediante WinQSB

El anterior problema resuelto es un ejemplo introductorio a la modelación a gran escala y a la aplicación que tienen la investigación de operaciones dentro de las nuevas tendencias de Cadena de Abastecimiento.