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Investigación de operaciones

Ejercicios de Programación Lineal (primera parte)

Primera parte

Problema No. 1

Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las utilidades?

Definición de variables

X = Cantidad de bicicletas de paseo a producir.

Y = Cantidad de bicicletas de montaña a producir.

Restricciones

X + 2Y <= 80 (Disponibilidad de acero)

3X + 2Y <= 120 (Disponibilidad de aluminio)

X; Y >= 0 (Restricciones de NO negatividad)

Función objetivo

Zmax = 20000X + 15000Y

Solución del modelo mediante SOLVER


Problema No. 2

Un autobús que hace el recorrido Cali-Buga, ofrece asientos para fumadores al precio de 10.000 pesos y a no fumadores al precio de 6.000 pesos. Al no fumador se le deja llevar 50 Kg. de peso y al fumador 20 Kg. Si el autobús tiene 90 asientos y admite un equipaje de hasta 3.000 Kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de asientos de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio? Además, debe considerarse que por políticas de la empresa, deben ofrecerse cómo mínimo 10 asientos para pasajeros no fumadores.

Definición de variables

X = Cantidad de asientos reservados a fumadores.

Y = Cantidad de asientos reservados a no fumadores.

Restricciones

20X + 50Y <= 3000 (Equipaje permitido)

X + Y <= 90 (Asientos disponibles)

Y >= 10 (Políticas no fumadores)

X; Y >= 0 (No negatividad)

Función objetivo

Zmax = 10000X + 6000Y

Solución mediante SOLVER


Problema No. 3

Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000 pesos. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 pesos el Kg. y las de tipo B a 80 pesos el Kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 Kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el Kg. de naranjas tipo A a 58 pesos. y el Kg. de tipo B a 90 pesos. plantee un modelo de programación lineal que permita resolver la situación anterior.

Definición de las variables

X = Cantidad de Kg de naranjas tipo A a comprar.

Y = Cantidad de Kg de naranjas tipo B a comprar.

Restricciones

50X + 80Y <= 50.000 (Dinero disponible para comprar)

X + Y <= 700 (Capacidad de transporte)

Función Objetivo

Zmax = 8X + 10Y

Solución obtenida mediante SOLVER


Problema No. 4

Un vendedor de frutas necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas están en condiciones de satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km. de distancia y el mayorista B a 300 Km., calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con el objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia.

Definición de variables

X = Cantidad de contenedores a comprar del mayorista A.

Y = Cantidad de contenedores a comprar del mayorista B.

Restricciones

8X + 2Y >= 16 (Requerimiento mínimo de naranjas)

X + Y >= 5 (Requerimiento mínimo de plátanos)

2X + 7Y >= 20 (Requerimiento mínimo de manzanas)

Función Objetivo (Minimizar distancia)

Zmin = 150X + 300Y

Solución obtenida mediante SOLVER


Problema No. 5

Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencia, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo?

Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida.

Definición de variables

A = Cantidad de galones de la bebida A a utilizar en el ponche.

B = Cantidad de galones de la bebida B a utilizar en el ponche.

C = Cantidad de galones de la bebida C a utilizar en el ponche.

D = Cantidad de galones de la bebida D a utilizar en el ponche.

E = Cantidad de galones de la bebida E a utilizar en el ponche.

Restricciones

A + B + C + D + E >= 500 (Requerimientos de Ponche)

A <= 200 (Disponibilidad de bebida A)

B <= 400 (Disponibilidad de bebida B)

C <= 100 (Disponibilidad de bebida C)

D <= 50 (Disponibilidad de bebida D)

E <= 800 (Disponibilidad de bebida E)

0,4A + 0,05B + C >= 0,2(A + B + C + D + E) Contenido de jugo de naranja

0,4A + 0,1B + D >= 0,1(A + B + C + D + E) Contenido de jugo de toronja

0,2B >= 0,05(A + B + C + D + E) Contenido de jugo de arándano

Función Objetivo

Zmin = 1,5A + 0,75B + 2,00C + 1,75D + 0,25E

Solución obtenida mediante Solver

Más ejercicios – Parte 2

Bryan Salazar López

De profesión, Ingeniero Industrial, Magíster (c) en Logística, especializado en productividad, con interés y experiencia en el modelamiento de procesos bajo indicadores de sostenibilidad. Fundador de Ingenieriaindustrialonline.com, sitio donde se recogen las aportaciones de investigaciones, artículos y referencias.

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14 comentarios

  1. Buenas, me podrían ayudar con este problema, ya tengo las restricciones pero no puedo determinar su función objetivo, o no lo estoy pillando o se omitió algunos datos, aguardo su ayuda muchas gracias

    Un médico le ha diagnosticado a un paciente una falta de vitaminas, para lo
    cual diariamente ha de tomar como mínimo 45 unidades de vitamina A, 34 de la vitamina B y 20
    de la vitamina C. En la farmacia dispone de los productos X e Y, compuesto cada uno de las
    unidades dadas en la tabla siguiente. Se pide minimizar el número de pastillas a consumir.
    Producto Vitamina A Vitamina B Vitamina C
    X 5 3 1
    Y 3 2 4
    Determine
    1. La ecuación que se trata de minimizar o maximizar.
    2. El planteamiento algebraico de las restricciones.
    3. Representa la región factible.
    4. La combinación óptima de los dos productos X e Y.
    5. La utilidad máxima o mínima posible, utilizando la combinación óptima de los
    productos.

    1. Buenas cesar la solucion es la siguiente:

      se debe minimizar el numero de pastillas a consumir, por lo tanto queda minimizar z = x + y

      va a estar sujeto a : 5x+3y≥45, 3x+2y≥35 y 1x+4y≥20

  2. queria saber como plantear una ecuacion de restriccion ,segun este texto, la proporcion del dinero invertido , debe ser a los sumo
    de 4/5.

    1. x1<=(4/5)x1
      X1 es el dinero invertido, la restriccion indica que la proporcion del dinero invertido debe ser entre 0 y 4/5 de esa cantidad

  3. Hola me podrian ayudar con este problema, no estoy muy segura de la funsion onjetivo. =).

    brica mexicana de juguetes Matel, está en el proceso de evaluar, la factibilidad de fabricar tres nuevos juguetes (1, 2 y 3) para la próxima navidad. Dado la incertidunbre económica provocado por la pandemia SARS-COV-2. Para poder realizar el proyecto es necesario reacondicionar las instalaciones para la fabricación de estos tres nuevos modelos, con los siguientes costos para el modelo 1, el costo de reacodicionamiento sería de $25,000; para el modelo 2, el costo de reacondicionamiento sería de $35,000; y finalmente para el modelo 3, el costo sería $30,000. La ganancia por cada juguete son los siguientes, por el modelo 1 es $ 200.00; por el modelo 2 $ 300.00 y por el modelo 3 $360.00. Matel cuenta con tres plantas en México, una Sonora, una en la Ciudad de México y otra en Puebla, que pueden producir los nuevos modelos de juguetes, dependiendo cual de ellas garantice la máxima ganancia. Por lo tanto para evitar costos innecesarios, solo una de ellas se encargará de la fabricación de estos tres nuevos modelos.

    Consideraciones:
    El número de horas que requiere cada planta para producir cada juguete se muestra en la siguiente matriz

    NUEVOS JUGUETES
    PLANTA MODELO 1 MODELO 2 MODELO 3
    sonora 5 4 6
    ciudad de mexico 4 2 2
    puebla 3 3 2

    Disponibilidad de horas de producción

    PLANTA Horas disponibles de producción al día
    sonora 500
    ciudad de mexico 600
    puebla 630

    gracias.

  4. Hola me puede ayudar con este ejercicio
    Una librería requiere establecer la demanda de una novela para los próximos 4 meses. Actualmente, dispone de 110 unidades en inventario. La proyección de la demanda es la siguiente:
    Mes 1 130 unidades
    Mes 2 290 unidades
    Mes 3. 190 unidades
    Mes 4. 150 unidades
    La librería tiene la capacidad de adquirir hasta 300 libros cada mes, a un costo de $ 4.000 por libro.
    Los libros producidos adquiridos en un mes pueden ser vendidos en ese período o quedar almacenados para otro mes. Cada unidad almacenada tiene un costo adicional de $ 300 por mes.
    Se debe determinar el modelo final que permita satisfacer la demanda y a un costo mínimo.

    Definir el problema
    Determinar la función objetivo y las restricciones
    Expresar el modelo final

  5. 1. Cierta empresa produce dos tipos de bicicletas, la deportiva y la de montaña. Ambos tipos
    de bicicleta se producen en dos departamentos de producción, de acuerdo a los siguientes
    requerimientos semanales de mano de obra:
    TIPO DE
    BICICLETA

    REQUERIMIENTOS DE
    PRODUCCIÓN

    UTILIDAD
    UNITARIA

    DEPTO. 1 (hrs.) DEPTO. 2 (hrs.)

    DEPORTIVA 2 3 $ 1,500
    DE MONTAÑA 3 4 $ 1,800
    M. DE O. DISP.
    POR SEMANA 100 100
    Los administradores de la empresa se han fijado las siguientes metas, en orden de
    importancia:
    P1 : No subutilizar la mano de obra disponible.
    P2 : Cubrir una demanda de 10 bicicletas de cada tipo por semana.
    P3 : Lograr una utilidad semanal mínima de $ 50,000.
    Plantee y resuelva este problema utilizando la programación por metas para ayudar a los
    administradores de la empresa a lograr sus objetivos.
    2. Un pequeño fabricante de equipo especial de productos de oficina fabrica dos clases de
    productos, sillas y lámparas. El margen bruto de la venta de una silla es $80; el de la venta
    de una lámpara, $40. La producción de una silla requiere 2 horas, mientras que la de una
    lámpara requiere de 4 horas, y la capacidad del departamento de producción es de 40
    horas por semana. Debido a la capacidad limitada en las ventas, el máximo número de
    sillas y lámparas que puede venderse es de 6 y 8 por semana respectivamente. Las metas
    que se ha fijado el gerente son, en orden de importancia:
    P1 : Lograr una utilidad bruta de $640 la semana siguiente.
    P2 : Evitar la subutilización de la capacidad de producción.
    P3 : Vender tantas sillas y lámparas como sea posible.
    P4 : Minimizar el tiempo extra de la planta tanto como sea posible.
    Formule este problema como un problema de programación meta, para que el gerente de la
    empresa pueda tomar una decisión que cumpla sus metas tanto como se pueda.
    3. Una empresa manufacturera produce congeladores. La compañía tiene dos líneas de
    producción. La tasa de producción para la línea 1 es 3 unidades por hora y para la línea 2
    es de 2 unidades por hora. La capacidad regular de producción es de 40 horas por semana
    para ambas líneas. La utilidad bruta de un congelador es de $125. El presidente de la
    compañía tiene las siguientes metas para la semana siguiente, que se muestran en orden
    descendente de prioridad.
    P1 : Cumplir la meta de producción de 200 unidades por semana.
    P2 : Limitar la operación de tiempo extra de la línea 2 a 5 horas.
    P3 : Evitar la subutilización de las horas normales de trabajo de ambas líneas.
    P4 : Minimizar el tiempo extra para ambos grupos.
    Resuelva este problema mediante la programación por metas para que pueda hacer
    recomendaciones al gerente, y así ayudarlo a lograr sus metas.

  6. me podrían ayudar con este problema
    El entrenador Flakey Waters del equipo de futbol de la Oconee High School tiene disponibles tres jugadores que puede utilizar en forma indistinta en la defensa. Cualquiera delos tres jugadores puede jugar en cualquiera de las tres posiciones de quarterback, fullback o tail back. Para el juego del campeonato estatal que está por llevarse acabo, el entrenador desea maximizar la cantidad combinada de avance que se logra con los tres jugadores colocándolos en la mejor posición. Ha revisado su desempeño anterior en cualquiera de esas posiciones y ha calculado las yardas promedio que han ganado por juego.

  7. hola me pdrian ayudar con este ejercicio por favor
    Una empresa produce gaseosas en tres sabores: limón, naranja y piña, en sus cuatro plantas: A, B, C y D. La planta A produce al día máximo 1 000 gaseosas de limón, mínimo 3 000 de naranja y máximo 5 000 de piña. La planta B produce diariamente máximo 2 000 gaseosas de cada uno de los sabores.
    La planta C produce al día mínimo 3X00 gaseosas de limón, máximo 1y00 de naranja y mínimo 2y00 de piña. La planta D produce diariamente mínimo y000 gaseosas de cada uno de los sabores
    La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes máximo y0 000 gaseosas de limón, y60 000 de naranjas y 2X0 000 de piña. Si la ganancia es de S/ y por cada gaseosa que se produce en A, 20% adicional por cada gaseosa que se produce en B con respecto a la gaseosa que se produce en A, 25% menos de la ganancia por cada gaseosa que se produce en C con respecto a la gaseosa que se produce en A, y s/2.5 por cada gaseosa que se produce en D.

  8. Un laboratorio de productos veterinarios distribuye un producto en tres formas de cajas distintas A, B y C. Las cajas del tipo A tienen un peso de 250 gramos y un precio de 600 pesos, las de tipo B pesan 500 gramos y su precio es 1080 pesos mientras que las C pesan 1 kilo y cuestan 1980 pesos. A una veterinaria le suministran un lote de 5 cajas con un peso de 2,5 kilos por un importe de 5.340 pesos. ¿Cuántas cajas de cada tipo se enviaron a la veterinaria?

  9. Hola, me podrian ayudar con este ejercicio, por favor.

    Una empresa elabora 2 productos A y B, que proporcionan $800 y $1100. Los dos deben pasar por 3 procesos. El articulo A tarde 10 min en proceso de corte, 15min en costura y 12 en detallado, el B tarda 12, 18 y 1o respectivamente. Se dispone de tiempo de corte al dia de 59 hrs, 70 hrs de costura y 65 de detallado, Se debe cumplir tambien una orden especial de un cliente de 30 y 35 respectivamente. ¿Cuántos debe producir al dia ?

    Gracias

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