A continuación, presentamos la solución a una serie de ejercicios de programación lineal. Encontrarán diversas variaciones del problema básico, aplicadas en diversos contextos. Los invitamos también a repasar los conceptos relacionados con:
Un empresario pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores requieren, respectivamente, 2,5 y 3 horas de ensamblaje, 3 y 6 Kg. de esmalte para su pintura y 14 y 10 horas de control de calidad. Los costos totales de fabricación por unidad son, respectivamente, 30 y 28, y los precios de venta 52 y 48, todos ellos en miles de pesos.
El empresario dispone semanalmente de máximo, 4500 horas para ensamblaje, de máximo 8400 Kg. de esmalte y 20000 horas máximo, para control de calidad. Los estudios de mercado muestran que la demanda semanal de congeladores no supera las 1700 unidades y que, en particular, la de tipo A es de, al menos 600 unidades.
Definición de variables
A = Cantidad de congeladores tipo A a producir.
B = Cantidad de congeladores tipo B a producir.
Restricciones
2,5A + 3,0B <= 4500 (Horas de ensamblaje)
3A + 6B <= 8400 (Kg de pintura)
14A + 10B <= 20000 (Horas de control de calidad)
A + B <= 1700 (Restricciones de mercado)
A >= 600 (Política de ventas de congeladores tipo A)
A; B >= 0 (No negatividad)
A;B = Enteros
Función objetivo
Zmax = 22A + 20B
Solución del modelo mediante SOLVER
Una empresa de confecciones puede producir 1000 pantalones o 3000 blusas (o una combinación de ambos) diariamente. El departamento de acabado puede trabajar sobre 1500 pantalones o sobre 2000 blusas (o una combinación de ambos) cada día; el departamento de mercadeo requiere que se produzcan diariamente al menos 400 pantalones. Si el beneficio de un pantalón es de $ 4000 y el de una blusa es de $ 3000. ¿Cuántas unidades se deben producir de cada uno para maximizar las utilidades?
Definición de variables
X = Cantidad de pantalones a producir diariamente.
Y = Cantidad de blusas a producir diariamente.
Restricciones
(X/1000) + (Y/3000) <= 1
(X/1500) + (Y/2000) <= 1
X >= 400
X;Y = Enteros
Función objetivo
Zmax = 4000X + 3000Y
Solución mediante SOLVER
El granjero Leary cultiva trigo y maíz en su granja con un terrero cultivable de 45 acres. El puede vender a lo más 140 bultos de trigo y 120 bultos de maíz. Cada acre que él planta con trigo produce 5 bultos, mientras que cada acre plantado con maíz produce 4 bultos. El trigo se vende a 30 dólares el bulto, mientras que el maíz a 50 dólares el bulto. Para cosechar un acre de trigo requiere 6 horas de labor; cosechar un acre de maíz requiere 10 horas. Se pueden contratar hasta 350 horas de labor a 10 dólares la hora. Para maximizar las ganancias, el granjero formuló y resolvió un modelo lineal
Definición de las variables
X = Cantidad de bultos de trigo a producir.
Y = Cantidad de bultos de maíz a producir.
Restricciones
(X/5) + (Y/4) <= 45
X <= 140
Y <= 120
(6(X/5)) + (10(Y/4)) <= 350
X;Y = Enteros
Función Objetivo
Zmax = 30X + 50Y – (6X/5)10 – (10Y/4)10
Solución obtenida mediante SOLVER
Este problema puede resolverse tanto si se definen las variables de decisión en función de los acres cultivados o los bultos cosechados. En ambos casos la función objetivo debe dar el mismo resultado.
SUCAFÉ, produce y distribuye dos tipos de café a los supermercados de la ciudad: normal y procesado. Para éste mes Sucafé tiene 180 toneladas de grano de café en inventario y tiene programadas hasta 50 horas de tiempo de procesamiento para el tostado. Cada tonelada de café normal necesita una tonelada de grano, dos horas de tostado y produce una ganancia de $8.000. Cada tonelada de café procesado necesita también una tonelada de grano pero necesita cuatro horas de tostado y produce una ganancia de $9.000. Plantee un modelo e programación lineal que le permita a Sucafé planear su producción para este mes.
Definición de variables
X = Cantidad de toneladas de café normal a producir.
Y = Cantidad de toneladas de café procesado a producir.
Restricciones
X + Y <= 180
2X + 4Y <= 50
Función Objetivo
Zmax = 8000X + 9000Y
Solución obtenida mediante SOLVER
Como gerente de una asociación de empresas para el reciclaje en la región, ha sido asignado para tomar la decisión de a quien debe venderse unos desperdicios de metal que fueron recolectados. Dos empresas: Metales Ltda. y Hierros Unidos, están interesados en la compra de los desperdicios. La primera empresa, que paga la tonelada de metal a: $500 no esta interesada en comprar mas de 500 toneladas, en cambio la segunda, que esta dispuesta a pagar $400 por tonelada de metal, ofrece comprar un límite máximo de 600 toneladas. Sin embargo la financiación local ha limitado las compras formulando la siguiente condición: La cantidad de desperdicio vendida a la empresa Metales Ltda. NO puede superar el doble de la cantidad vendida a Hierros Unidos.
Conociendo que la asociación de empresas dispone de 1.000 toneladas de desperdicios metálicos, formule un modelo de programación lineal que permita alcanzar la mejor decisión para el gerente.
Definición de variables
X = Cantidad de toneladas de desperdicios a vender a Metales Ltda.
Y = Cantidad de toneladas de desperdicios a vender a Hierros Unidos.
Restricciones
X + Y <= 1000
X <= 500
Y <= 600
X <= 2Y
X;Y >= 0
Función Objetivo
Zmax = 500X + 400Y
Solución obtenida mediante Solver
Por: Andrés Guillermo Martinez Otálora A través de mi vida como empresario durante casi 20…
La aplicación de los principios de la Teoría de las Restricciones suele dar resultados impresionantes…